..:: | Назад  | Содержание | Далее | ::..

1.3 Спектры периодических и непериодических колебаний

Сигнал называется периодическим, если его форма циклически повторяется во времени. Периодические сигналы могут быть как простыми (гармонический сигнал), так и сложными. Для математического представления периодических сигналов с периодом Т пользуются рядом Фурье, с помощью которого сложный сигнал можно представить в виде суммы гармонических колебаний:

Таким образом, в общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую U₀ и набор гармонических колебаний основной частоты ω ₁=2πf₁ и ее гармоник с кратными частотами ω_n = nω₁ (n = 2, 3, 4, ...). Каждое из гармонических колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудой U_mn и начальной фазой φ_n.

Гармонические функции в ряде Фурье имеют следующие преимущества:

• простое математическое описание;
• инвариантность к линейным преобразованиям, т.е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то ее выходе также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой;
• все гармонические функции ряда периодические и имеют бесконечную длительность;
• техника генерирования гармонических функций реализуется просто.

В радиоэлектронике часто применяются прямоугольные периодические импульсы напряжения. Длительность импульсов τ может измеряться микро- и наносекундами. Отношение T/τ=g называется скважностью. Решение ряда Фурье дает следующие конечные результаты для построения спектральной диаграммы периодической последовательности прямоугольных импульсов (видеоимпульсов):

     

Спектр последовательности прямоугольных импульсов при скважности импульсов, например, равной трем (рис.2,а), изображен на рисунке 2,б.

Рисунок 1.2 - Временная и спектральная диаграммы

Из анализа спектра следует, что с увеличением скважности увеличивается число спектральных составляющих и уменьшаются их амплитуды. Теоретически спектр бесконечный. Ширина спектра сигнала (в данном примере это полоса частот Δω=5ω₁-ω₀ зависит от точности представления сигнала рядом Фурье. Практически, для передачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.

Для спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов u(t), заданных на конечном интервале (t₁, t₂) непосредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя. Одиночный импульсный сигнал не является периодическим. Для гармонического разложения такого сигнала применяют следующее:

• импульсный сигнал дополняют до периодического с любым периодом Т, включающим в себя промежуток (t₁, t₂);
• полученный при этом периодический сигнал u_пер(t) представляют в виде ряда Фурье;
• затем необходимо произвести предельный переход от u_пер(t) к u(t) , устремляя Т к бесконечности.

При таком предельном переходе основная частота сигнала ω₁=2π/T стремится к нулю, бесконечно увеличивается число спектральных составляющих, частоты соседних гармоник nω₁ и (n+1)ω₁становятся такими близкими, что спектр будет сплошным. Для вычисления спектра в этом случае удобна симметричная комплексная форма ряда Фурье (обратное и прямое преобразования Фурье):

где

Комплексная спектральная плотность по аналогии с комплексными выражениями можно представить как:

где F(ω) модуль или спектральная плотность амплитуд (амплитудный спектр);

φ(ω)аргумент или фазовый спектр непериодического сигнала.

Физический смысл спектральной плотности следующий: спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте ω равна суммарной амплитуде спектральных составляющих, попадающих в малую полосу Δω в окрестности частоты ω пересчитанной к полосе 1 Гц.

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса (амплитудный и фазовый спектры) соответственно равны:

     

Рассчитанные спектры изображены на рисунке 3.

Рисунок 1.3 - Прямоугольный видеоимпульс и его спектральные диаграммы

Спектральные характеристики играют в технике связи огромную роль. Зная спектр сигнала, можно правильно рассчитать полосу пропускания усилителей, фильтров и других узлов каналов связи. Без знания спектра помехи трудно принять меры для ее подавления.

..:: | Назад  | Содержание | Далее | ::..